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2012年高考全国新课卷卷理科第16题是:数列 满足 ,则 的前 项和为 .
粗粗一看此题,似曾相识,对于递推数列问题,我们平时总结了不少,好象是 或是 型问题,运用叠加法,即可解决.仔细一看,发现多了 ,于是没有现成的模式可套,怎么解?下面是笔者对此题解法进行探究的心路历程.
思路一:从特殊到一般.对于给出递推数列,没有更好方法之前,通常可以特值开路,写出前几项,进行归纳,再猜想一般的规律.
解法1:设a1等于a,由递推公式 ,分别令n等于1,2,3,4,等,则有
a2等于1+a,a3等于2—a,a4等于7—a,a5等于a,a6等于9+a,a7等于2—a,a8等于15—a,a9等于a,等,
于是可知,
所以 知每连续四项之和成等差数列.
则 .
思路二:分奇数与偶数进行讨论.本题的难点在于 ,于是可对其进行分类讨论,并进行适当的构造及并项.
解法2:当n为奇数时, ;当n为偶数时, ;
于是
等于[2(4k—1)—1]+2[2(4k—2)—1]—[2(4k—3)—1]等于16k—6.
则 .
思路三:利用迭代法.对于给出递推数列问题,应关注屡屡出现数列问题的三技巧——叠加、叠乘、叠代.特别是叠代法,它是直接反复利用递推公式而进行迭代,可以直接运用,从而使问题得以解决.
解法3:由 得,
,
即 ,
也有 ,
两式相加得 ,设 为整数,
则 ,
于是 .
思路四:分组求和法.由于 或是 型问题我们非常熟悉,不妨利用叠加法及并项法来解决,分别求出奇数项的和与偶数项的和,再相加.
解法4:由 ,
令n等于2k,则有 ;
令n等于2k—1,则有 ;
以上两式相减,得 .
于是有a1+a3+a5+a7+等+a57+a59
等于(a1+a3)+(a5+a7)+等+(a57+a59)等于15×2等于30. ①
又由 ,令n等于1,3,5,等,59,知
a2—a1等于1,
a4—a3等于5,
a6—a5等于9,
.
以上各式相加,得(a2+a4+a6+等+a60)—(a1+a3+a5+a7+等+a59)
等于1+5+9+等+117等于1770. ②
将①代入②,得a2+a4+a6+等+a60等于1800.
于是则 的前 项和为(a1+a3+a5+a7+等+a59)+(a2+a4+a6+等+a60)等于1800+30等于1830.
思路五:构造子数列.对于{an}即不是等差数列 ,也不是等比数列,但可发现其子数列{ }、{ }、{ }、{ }是等差数列,于是可数列{an}分项击破.
解法5:当n为奇数时, ;当n为偶数时, ;
故数列{ }是等差数列,公差为8,首项为a2,故 ;
故数列{ }是等差数列,公差为8,首项为a4,故 ;
同理, 等于0,故数列{ }是常数列,故 ;
等于0,故数列{ }是常数列,故 ;
又a1+a2+a3+a4等于(a4—a3)+2(a3+a2)—(a2—a1)等于5+6—1等于10.
于是 的前 项和为(a1+a5+a9+等+a57)+(a2+a6+a10+等+a58) +(a3+a7+a11+等+a59)+(a4+a8+a12+等+a60)等于15a1+(15 a2+840)+15a3+(15 a4+840)
等于15(a1+a2+a3+a4)+1680等于1830.
思路六:构造等差数列.
从以上的解法中,不难发现,本题的实质是连续四项的和构造等差数列,于是证明 ,则有数列{bn }是公差为16的等差数列即可.
解法6:当n为奇数时, ;当n为偶数时, ;
故数列{ }是等差数列,公差为8,首项为a2,故 ;
故数列{ }是等差数列,公差为8,首项为a4,故 ;
同理, 等于0,故数列{ }是常数列,故 ;
等于0,故数列{ }是常数列,故 ;
则 ,又 ,则有数列{bn }是首项为10,公差为16的等差数列.
则 . (作者单位:浙江省泰顺中学) (325500)